B_barrita = c0 + c1*x + c2*y + c3*z + c4*x*y + c5*x*z + c6*y*z + c7*x*y*z eq(2).
Si pretendes usar más de 3 variables (m variables), la ecuación de P1P se va tornando de la siguiente manera:
B_barrita= coeficiente independiente (a0) + un coeficiente por cada variable multiplicando a cada variable (a1*x1 + a2*x2+ a3*x3 + .... + an*xm) + un coeficiente PARA CADA COMBINACIÓN POIBLE DE LAS VARIABLES (b1*x1*x2 + b2*x1*x3 + ... + bn*x1*xn + ... + cn*x1*...*xm).
Una regresión polinomial consiste en encontrar los coeficientes "c0", "c1"... "ck" de tal manera que un vector "B_barrita" sea lo más parecido a un vector "B_real". Siempre que el vector "B_barrita" sea una ecuación formada por unas variables "x1",, "x2", "x3" ... "xm" (vectores de datos) y los coeficientes mencionados.
En esta entrada, "m" es la cantidad de variables que se usan. "n" es la longitud de cada vetor (cantidad de datos en cada variable) y "k" es la cantidad de coeficientes "c" de la ecuación P1P.
La manera más sencilla de entender esto es de la siguiente forma:
e=B_real - B_barrita (eq3).
(eq4 "Bi" es B_real y "B_barrita" es nuestro modelo P1P).
O lo que es lo mismo:
(eq5)
De la ecuación 4 ó 5 (eq4; eq5) podemos rescatar un par de cosas.
-Al tratarse de una sumatoria, debemos notar que "B_barrita" y "B_real" son VECTORES (o sea un conjunto de datos de la forma B=[ B(1) B(2) B(3) B(4) ... B(n-1) B(n)]) ambos de longitud "n".
-El vector "B_barrita" ya está formado por la ecuación de P1P cómo (eq1) o (eq2), es decir, tenemos un vector con variables incógnitas (variables simbólicas si usas Matlab) que son los coeficientes "c1", "c2" ... "ck".
El problema de "encontrar" los valores de los coeficientes "c" que MINIMICEN el error cuadrático de la ecuación 4 o ecuación 5 (eq4; eq5) está en una derivada e igualación a cero.
Recuerda que cuando quieres encontrar EL MÍNIMO en una curva, lo que haces es igualar su primera derivada a cero (como en este video
https://www.youtube.com/watch?v=CZbA2ckCjXA).
Entonces, derivando en fucnión de CADA COEFICIENTE "c":
(eq 6, 7, 8, 9)
De la ecuación 6 obtendremos el coeficiente "c0".
De la ecuación 7 obtendremos el coeficiente "c1".
De la ecuación 8 obtendremos el coeficiente "c2".
De la ecuación 9 obtendremos el coeficiente "c3".
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